Основы мат. анализа Примеры

$\log_{225} (5 x + 5) - \log_{225} (5 x - 9) = \frac{1}{2}$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{225} (\frac{5 x + 5}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\log_{225} (\frac{5 (x) + 5}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\log_{225} (\frac{5 (x) + 5 (1)}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (1)$ .

$\log_{225} (\frac{5 (x + 1)}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Этап 2

Перепишем $\log_{225} (\frac{5 (x + 1)}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$225^{\frac{1}{2}} = \frac{5 (x + 1)}{5 x - 9}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$5 (x + 1) = 225^{\frac{1}{2}} (5 x - 9)$

Этап 4

Упростим $225^{\frac{1}{2}} (5 x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$5 (x + 1) = {(15^{2})}^{\frac{1}{2}} (5 x - 9)$

Этап 4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (x + 1) = 15^{2 (\frac{1}{2})} (5 x - 9)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$5 (x + 1) = 15^{2 (\frac{1}{2})} (5 x - 9)$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$5 (x + 1) = 15^{1} (5 x - 9)$

Этап 4.3

Найдем экспоненту.

$5 (x + 1) = 15 (5 x - 9)$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x + 1) = 15 (5 x) + 15 \cdot - 9$

Этап 4.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $5$ на $15$ .

$5 (x + 1) = 75 x + 15 \cdot - 9$

Этап 4.5.2

Умножим $15$ на $- 9$ .

$5 (x + 1) = 75 x - 135$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $75 x$ из обеих частей уравнения.

$5 (x + 1) - 75 x = - 135$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 5 \cdot 1 - 75 x = - 135$

Этап 5.2.2

Умножим $5$ на $1$ .

$5 x + 5 - 75 x = - 135$

Этап 5.3

Вычтем $75 x$ из $5 x$ .

$- 70 x + 5 = - 135$

Этап 6

Вынесем множитель $5$ из $- 70 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $5$ из $- 70 x$ .

$5 (- 14 x) + 5 = - 135$

Этап 6.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$5 (- 14 x) + 5 (1) = - 135$

Этап 6.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (- 14 x) + 5 (1)$ .

$5 (- 14 x + 1) = - 135$

Этап 7

Разделим каждый член $5 (- 14 x + 1) = - 135$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $5 (- 14 x + 1) = - 135$ на $5$ .

$\frac{5 (- 14 x + 1)}{5} = \frac{- 135}{5}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 14 x + 1)}{5} = \frac{- 135}{5}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $- 14 x + 1$ на $1$ .

$- 14 x + 1 = \frac{- 135}{5}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $- 135$ на $5$ .

$- 14 x + 1 = - 27$

Этап 8

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 14 x = - 27 - 1$

Этап 8.2

Вычтем $1$ из $- 27$ .

$- 14 x = - 28$

Этап 9

Разделим каждый член $- 14 x = - 28$ на $- 14$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $- 14 x = - 28$ на $- 14$ .

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 28}{- 14}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $- 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 28}{- 14}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 28}{- 14}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим $- 28$ на $- 14$ .

$x = 2$