Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (x^{2} + 5) = \log_{3} (4 x^{2} - 2 x)$

Этап 1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} + 5 = 4 x^{2} - 2 x$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 2 x = x^{2} + 5$

Этап 2.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 2 x - x^{2} = 5$

Этап 2.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 x = 5$

Этап 2.3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Этап 2.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$3 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Этап 2.4.1.2

Запишем $- 2$ как $3$ плюс $- 5$

$3 x^{2} + (3 - 5) x - 5 = 0$

Этап 2.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5 = 0$

Этап 2.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5 = 0$

Этап 2.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 x (x + 1) - 5 (x + 1) = 0$

Этап 2.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$(x + 1) (3 x - 5) = 0$

Этап 2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Этап 2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.7

Приравняем $3 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $3 x - 5$ к $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Этап 2.7.2

Решим $3 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 5$

Этап 2.7.2.2

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 2.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (3 x - 5) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{5}{3}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 1, \frac{5}{3}$

Десятичная форма:

$x = - 1, 1.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$x = - 1, 1 \frac{2}{3}$