Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (x^{2} - 4 x - 23) = 2$

Этап 1

Перепишем $\log_{3} (x^{2} - 4 x - 23) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{2} = x^{2} - 4 x - 23$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 4 x - 23 = 3^{2}$ .

$x^{2} - 4 x - 23 = 3^{2}$

Этап 2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x^{2} - 4 x - 23 = 9$

Этап 2.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x - 23 - 9 = 0$

Этап 2.4

Вычтем $9$ из $- 23$ .

$x^{2} - 4 x - 32 = 0$

Этап 2.5

Разложим $x^{2} - 4 x - 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 32$ , а сумма — $- 4$ .

$- 8, 4$

Этап 2.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 8) (x + 4) = 0$

Этап 2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 2.7

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 2.7.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 2.8

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.8.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 8) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 8, - 4$