Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x + 1))$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x) + x \cdot 1)$

Этап 1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

Этап 1.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x)$

Этап 1.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 (x \cdot x) + x)$

Этап 1.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x^{2} + x)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$5 x = 2 x^{2} + x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$2 x^{2} + x = 5 x$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + x - 5 x = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $5 x$ из $x$ .

$2 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 4 x = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 4 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 2) = 0$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x) + 2 x (- 2)$ .

$2 x (x - 2) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ истинным.

$x = 2$