Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3}) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

Этап 1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x - 3)) = 0$

Этап 1.3

Умножим $\frac{x}{2 x + 3}$ на $2 x - 3$ .

$\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$

Этап 2

Перепишем $\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{0} = \frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x (2 x - 3) = 5^{0} (2 x + 3)$

Этап 4

Упростим $5^{0} (2 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x (2 x - 3) = 1 (2 x + 3)$

Этап 4.2

Умножим $2 x + 3$ на $1$ .

$x (2 x - 3) = 2 x + 3$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x (2 x - 3) - 2 x = 3$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

Этап 5.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

Этап 5.2.3

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 x = 3$

Этап 5.2.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 x = 3$

Этап 5.2.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x = 3$

$2 x^{2} - 3 x - 2 x = 3$

Этап 5.3

Вычтем $2 x$ из $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 5 x = 3$

Этап 6

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$x (2 x) - 5 x = 3$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

Этап 6.3

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x) + x \cdot - 5$ .

$x (2 x - 5) = 3$

Этап 7

Упростим $x (2 x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

Этап 7.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 = 3$

Этап 7.1.2.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$2 x \cdot x - 5 \cdot x = 3$

Этап 7.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) - 5 \cdot x = 3$

Этап 7.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 5 \cdot x = 3$

$2 x^{2} - 5 x = 3$

Этап 8

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Этап 9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Этап 9.1.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$2 x^{2} + (1 - 6) x - 3 = 0$

Этап 9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3 = 0$

Этап 9.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 6 x - 3 = 0$

Этап 9.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + x) - 6 x - 3 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1) = 0$

Этап 9.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 3) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 11

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 11.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 11.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 11.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 12

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 12.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, 3$

Этап 14

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$ истинным.

$x = 3$