Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x^{2} + 3 x + 4) = 2$

Этап 1

Перепишем $\log_{5} (x^{2} + 3 x + 4) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} + 3 x + 4$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 3 x + 4 = 5^{2}$ .

$x^{2} + 3 x + 4 = 5^{2}$

Этап 2.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x^{2} + 3 x + 4 = 25$

Этап 2.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 3 x + 4 - 25 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $25$ из $4$ .

$x^{2} + 3 x - 21 = 0$

Этап 2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = - 21$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 21$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.3

Добавим $9$ и $84$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2}$

Этап 2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 3.32182538 \dots, - 6.32182538 \dots$