Основы мат. анализа Примеры

$\log_{4} (x - 7) + \log_{4} (x - 7) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ((x - 7) (x - 7)) = 1$

Этап 1.2

Развернем $(x - 7) (x - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{4} (x (x - 7) - 7 (x - 7)) = 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)) = 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) = 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) = 1$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 7$ влево от $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7) = 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$\log_{4} (x^{2} - 7 x - 7 x + 49) = 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $7 x$ из $- 7 x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 14 x + 49) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{4} (x^{2} - 14 x + 49) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{1} = x^{2} - 14 x + 49$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 14 x + 49 = 4^{1}$ .

$x^{2} - 14 x + 49 = 4$

Этап 3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 14 x + 49 - 4 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $4$ из $49$ .

$x^{2} - 14 x + 45 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} - 14 x + 45$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $45$ , а сумма — $- 14$ .

$- 9, - 5$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 9) (x - 5) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 3.7

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 9) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 9, 5$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{4} (x - 7) + \log_{4} (x - 7) = 1$ истинным.

$x = 9$