Основы мат. анализа Примеры

$\log_{4} (x - 5) + \log_{4} (x + 5) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ((x - 5) (x + 5)) = 2$

Этап 1.2

Развернем $(x - 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{4} (x (x + 5) - 5 (x + 5)) = 2$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 5 - 5 (x + 5)) = 2$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 5 - 5 x - 5 \cdot 5) = 2$

Этап 1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 5 - 5 x - 5 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 5$ и $- 5 x$ .

$\log_{4} (x \cdot x + 5 x - 5 x - 5 \cdot 5) = 2$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $5 x$ из $5 x$ .

$\log_{4} (x \cdot x + 0 - 5 \cdot 5) = 2$

Этап 1.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\log_{4} (x \cdot x - 5 \cdot 5) = 2$

Этап 1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 5 \cdot 5) = 2$

Этап 1.3.2.2

Умножим $- 5$ на $5$ .

$\log_{4} (x^{2} - 25) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log_{4} (x^{2} - 25) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{2} = x^{2} - 25$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 25 = 4^{2}$ .

$x^{2} - 25 = 4^{2}$

Этап 3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x^{2} - 25 = 16$

Этап 3.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 16 + 25$

Этап 3.3.2

Добавим $16$ и $25$ .

$x^{2} = 41$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{41}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{41}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{41}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{4} (x - 5) + \log_{4} (x + 5) = 2$ истинным.

$x = \sqrt{41}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{41}$

Десятичная форма:

$x = 6.40312423 \dots$