Основы мат. анализа Примеры

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (x (x - 1)) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 1 \cdot x) = \frac{1}{2}$

Этап 1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$

Этап 2

Перепишем $\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{\frac{1}{2}} = x^{2} - x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2

Упростим $4^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} - x = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x = 2^{1}$

Этап 3.2.3

Найдем экспоненту.

$x^{2} - x = 2$

Этап 3.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.7

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$ истинным.

$x = 2$