Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (x - 3) = 3 - \log_{2} (x - 1)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{2} (x - 3) + \log_{2} (x - 1) = 3$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x - 3) (x - 1)) = 3$

Этап 3

Развернем $(x - 3) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x (x - 1) - 3 (x - 1)) = 3$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (x - 1)) = 3$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1) = 3$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1) = 3$

Этап 4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 1) = 3$

Этап 4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\log_{2} (x^{2} - x - 3 x - 3 \cdot - 1) = 3$

Этап 4.1.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\log_{2} (x^{2} - x - 3 x + 3) = 3$

Этап 4.2

Вычтем $3 x$ из $- x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 4 x + 3) = 3$

Этап 5

Перепишем $\log_{2} (x^{2} - 4 x + 3) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{3} = x^{2} - 4 x + 3$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 4 x + 3 = 2^{3}$ .

$x^{2} - 4 x + 3 = 2^{3}$

Этап 6.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x^{2} - 4 x + 3 = 8$

Этап 6.3

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x + 3 - 8 = 0$

Этап 6.4

Вычтем $8$ из $3$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Этап 6.5

Разложим $x^{2} - 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 6.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Этап 6.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 6.7

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6.8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 6.8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 5, - 1$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (x - 3) = 3 - \log_{2} (x - 1)$ истинным.

$x = 5$