Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$\ln (x - 1), 1$

Этап 1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$\ln (x - 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ умножим на $\ln (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ на $\ln (x - 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\ln (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x + 1) = 2 \ln (x - 1)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $2 \ln (x - 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x + 1) = \ln ({(x - 1)}^{2})$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем.

$x + 1 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = (x - 1) (x - 1)$

Этап 3.2.1.3

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Этап 3.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Этап 3.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.2.1.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.2.1.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.2.1.4.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Этап 3.2.1.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x + 1$

Этап 3.2.1.4.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 3.2.2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 = x + 1$

Этап 3.2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 1$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 1$

Этап 3.2.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x + 1 - 1 = 0$

Этап 3.2.5

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 3 x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

Этап 3.2.5.2

Добавим $x^{2} - 3 x$ и $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Этап 3.2.6

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Этап 3.2.6.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Этап 3.2.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Этап 3.2.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.2.8

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.9

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.2.9.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.2.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ истинным.

$x = 3$