Основы мат. анализа Примеры

$\log ({(x)}^{3}) = 6 \log (x)$

Этап 1

Упростим $6 \log (x)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log (x^{3}) = \log (x^{6})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{3} = x^{6}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $x^{6}$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - x^{6} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} - x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим на $1$ .

$x^{3} \cdot 1 - x^{6} = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- x^{6}$ .

$x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x^{3}) = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x^{3})$ .

$x^{3} (1 - x^{3}) = 0$

Этап 3.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x^{3} (1^{3} - x^{3}) = 0$

Этап 3.2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$x^{3} ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Этап 3.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x^{3} ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Этап 3.2.4.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{3} ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Этап 3.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{3} (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 3.5.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 3.6

Приравняем $1 + x + x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $1 + x + x^{2}$ к $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Этап 3.6.2

Решим $1 + x + x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{3} (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ верно.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$