Основы мат. анализа Примеры

$\ln ({(x)}^{\ln (x)}) = 4$

Этап 1

Развернем $\ln (x^{\ln (x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $\ln (x^{\ln (x)})$ , вынося $\ln (x)$ из логарифма.

$\ln (x) \ln (x)$

Этап 1.2

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln (x)$

Этап 1.3

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Этап 1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\ln (x)}^{1 + 1}$

Этап 1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln^{2} (x)$

Этап 2

Развернутое уравнение: $\ln^{2} (x) = 4$ .

$\ln^{2} (x) = 4$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (x) = \pm \sqrt{4}$

Этап 3.2

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\ln (x) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\ln (x) = \pm 2$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\ln (x) = 2$

Этап 3.3.2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

Этап 3.3.3

Перепишем $\ln (x) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

Этап 3.3.4

Перепишем уравнение в виде $x = e^{2}$ .

$x = e^{2}$

Этап 3.3.5

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\ln (x) = - 2$

Этап 3.3.6

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- 2}$

Этап 3.3.7

Перепишем $\ln (x) = - 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x$

Этап 3.3.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- 2}$ .

$x = e^{- 2}$

Этап 3.3.8.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{2}}$

Этап 3.3.9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = e^{2}, \frac{1}{e^{2}}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = e^{2}, \frac{1}{e^{2}}$

Десятичная форма:

$x = 7.38905609 \dots, 0.13533528 \dots$