Основы мат. анализа Примеры

$\log_{11} (4 x + 1) + \log_{11} (x + 2) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{11} ((4 x + 1) (x + 2)) = 1$

Этап 1.2

Развернем $(4 x + 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{11} (4 x (x + 2) + 1 (x + 2)) = 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{11} (4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 1 (x + 2)) = 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{11} (4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\log_{11} (4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Этап 1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 8 x + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 8 x + x + 1 \cdot 2) = 1$

Этап 1.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 8 x + x + 2) = 1$

Этап 1.3.2

Добавим $8 x$ и $x$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 9 x + 2) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{11} (4 x^{2} + 9 x + 2) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$11^{1} = 4 x^{2} + 9 x + 2$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{2} + 9 x + 2 = 11^{1}$ .

$4 x^{2} + 9 x + 2 = 11$

Этап 3.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 9 x + 2 - 11 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $11$ из $2$ .

$4 x^{2} + 9 x - 9 = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ , а сумма — $b = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$4 x^{2} + 9 (x) - 9 = 0$

Этап 3.4.1.2

Запишем $9$ как $- 3$ плюс $12$

$4 x^{2} + (- 3 + 12) x - 9 = 0$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x + 12 x - 9 = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} - 3 x) + 12 x - 9 = 0$

Этап 3.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 x - 3) + 3 (4 x - 3) = 0$

Этап 3.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x + 3) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 3.7

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x - 3) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{4}, - 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{11} (4 x + 1) + \log_{11} (x + 2) = 1$ истинным.

$x = \frac{3}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3}{4}$

Десятичная форма:

$x = 0.75$