Основы мат. анализа Примеры

$i x^{2} - 2 x + i = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = i$ , $b = - 2$ и $c = i$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (i \cdot i)}}{2 i}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (i \cdot i)}}{2 i}$ на комплексно сопряженное $2 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (i \cdot i)}}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Этап 3.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим.

$x = \frac{(2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (i \cdot i)}) i}{2 i i}$

Этап 3.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{(2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (i i)}) i}{2 i i}$

Этап 3.2.2.2

Умножим $i i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$x = \frac{(2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (i i)}) i}{2 i i}$

Этап 3.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{(2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot i^{1 + 1}}) i}{2 i i}$

Этап 3.2.2.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \frac{(2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot i^{2}}) i}{2 i i}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$x = \frac{(2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}) i}{2 i i}$

Этап 3.2.2.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{(2 \pm \sqrt{4 + 4}) i}{2 i i}$

Этап 3.2.2.5

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{(2 \pm \sqrt{8}) i}{2 i i}$

Этап 3.2.2.6

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{(2 \pm \sqrt{4 (2)}) i}{2 i i}$

Этап 3.2.2.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{(2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}) i}{2 i i}$

Этап 3.2.2.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{(2 \pm 2 \sqrt{2}) i}{2 i i}$

Этап 3.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{(2 \pm 2 \sqrt{2}) i}{2 (i i)}$

Этап 3.2.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$x = \frac{(2 \pm 2 \sqrt{2}) i}{2 (i i)}$

Этап 3.2.3.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$x = \frac{(2 \pm 2 \sqrt{2}) i}{2 (i i)}$

Этап 3.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{(2 \pm 2 \sqrt{2}) i}{2 i^{1 + 1}}$

Этап 3.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \frac{(2 \pm 2 \sqrt{2}) i}{2 i^{2}}$

Этап 3.2.3.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$x = \frac{(2 \pm 2 \sqrt{2}) i}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{(2 \pm 2 \sqrt{2}) i}{- 2}$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{(2 \pm 2 \sqrt{2}) i}{2}$

Этап 4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - i - \sqrt{2} i, - i + \sqrt{2} i$