Основы мат. анализа Примеры

$6 \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 2 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ для всех.

$6 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot 2 = 12$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 u$ .

$6 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 7$ как $- 3$ плюс $- 4$

$6 u^{2} + (- 3 - 4) u + 2 = 0$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 u^{2} - 3 u - 4 u + 2 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 u^{2} - 3 u) - 4 u + 2 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 u (2 u - 1) - 2 (2 u - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (3 u - 2) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$(2 \cos (x) - 1) (3 \cos (x) - 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$3 \cos (x) - 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 \cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (x) = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 3.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 3.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 3.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 3.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $3 \cos (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 \cos (x) - 2$ к $0$ .

$3 \cos (x) - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $3 \cos (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 \cos (x) = 2$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $3 \cos (x) = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $3 \cos (x) = 2$ на $3$ .

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{2}{3})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Найдем значение $\arccos (\frac{2}{3})$ .

$x = 0.84106867$

Этап 4.2.5

$x = 2 (3.14159265) - 0.84106867$

Этап 4.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 0.84106867$

Этап 4.2.6.2

Упростим $2 (3.14159265) - 0.84106867$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.84106867$

Этап 4.2.6.2.2

Вычтем $0.84106867$ из $6.2831853$ .

$x = 5.44211663$

Этап 4.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.84106867 + 2 π n, 5.44211663 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \cos (x) - 1) (3 \cos (x) - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 0.84106867 + 2 π n, 5.44211663 + 2 π n$ , для любого целого $n$