Основы мат. анализа Примеры

$5 = \sec^{2} (x) + 3$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sec^{2} (x) + 3 = 5$ .

$\sec^{2} (x) + 3 = 5$

Этап 2

Перенесем все члены без $\sec (x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\sec^{2} (x) = 5 - 3$

Этап 2.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $arcsec (\sqrt{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 6.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 6.4

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 6.4.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 6.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $arcsec (- \sqrt{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 7.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 7.4

Упростим $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 7.4.3.2

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 7.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$