Основы мат. анализа Примеры

$3 \sin (x) \cos^{2} (x) = 3 \sin (x)$

Этап 1

Вычтем $3 \sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$3 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2

Упростим $3 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Изменим порядок $3 \sin (x) \cos^{2} (x)$ и $- 3 \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \sin (x) \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 3 \sin (x)$ из $- 3 \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) (1) + 3 \sin (x) \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 3 \sin (x)$ из $3 \sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$- 3 \sin (x) (1) - 3 \sin (x) (- 1 \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 3 \sin (x)$ из $- 3 \sin (x) (1) - 3 \sin (x) (- 1 \cos^{2} (x))$ .

$- 3 \sin (x) (1 - 1 \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.5

Перепишем $- 1 \cos^{2} (x)$ в виде $- \cos^{2} (x)$ .

$- 3 \sin (x) (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.6

Применим формулу Пифагора.

$- 3 \sin (x) \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.7

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$- 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) = 0$

Этап 2.7.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) = 0$

Этап 2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 {\sin (x)}^{2 + 1} = 0$

Этап 2.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\sin^{3} (x)$ на $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разделим $0$ на $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Этап 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.3

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\sin (x) = 0$

Этап 3.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 3.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 3.7

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 3.8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$