Основы мат. анализа Примеры

$45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$

Этап 1

Разделим каждый член $45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ на $45$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ на $45$ .

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

Этап 1.2.1.2

Разделим ${(\frac{2}{5})}^{x}$ на $1$ .

${(\frac{2}{5})}^{x} = \frac{10}{45}$

Этап 1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{10}{45}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 (2)}{45}$

Этап 1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $45$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

Этап 1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

Этап 1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{2}{9}$

Этап 2

Умножим обе части на $5^{x}$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $5^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{2}{9}$ и $5^{x}$ .

$2^{x} = \frac{2 \cdot 5^{x}}{9}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

Этап 4.2

Развернем $\ln (2^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (2) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

Этап 4.3

Перепишем $\ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$ в виде $\ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$

Этап 4.4

Перепишем $\ln (9)$ в виде $\ln (3^{2})$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (3^{2})$

Этап 4.5

Развернем $\ln (3^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - (2 \ln (3))$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - 2 \ln (3)$

Этап 4.7

Перепишем $\ln (2 \cdot 5^{x})$ в виде $\ln (2) + \ln (5^{x})$ .

$x \ln (2) = \ln (2) + \ln (5^{x}) - 2 \ln (3)$

Этап 4.8

Развернем $\ln (5^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$

Этап 4.9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1.1

Упростим $\ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (3^{2})$

Этап 4.9.1.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (9)$

Этап 4.9.1.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) = x \ln (5) + \ln (\frac{2}{9})$

Этап 4.9.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (2) - x \ln (5) - \ln (\frac{2}{9}) = 0$

Этап 4.9.3

Добавим $\ln (\frac{2}{9})$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (2) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

Этап 4.9.4

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (2) - x \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

Этап 4.9.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Этап 4.9.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (2) - 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Этап 4.9.5

Перепишем $- 1 \ln (5)$ в виде $- \ln (5)$ .

$x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Этап 4.9.6

Разделим каждый член $x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ на $\ln (2) - \ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.6.1

Разделим каждый член $x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ на $\ln (2) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Этап 4.9.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.6.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2) - \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Этап 4.9.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = 1.64148489 \dots$