Основы мат. анализа Примеры

$27 x^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Этап 1

Вычтем ${(x + 5)}^{3}$ из обеих частей уравнения.

$27 x^{3} - {(x + 5)}^{3} = 0$

Этап 2

Упростим $27 x^{3} - {(x + 5)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$27 x^{3} - (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) = 0$

Этап 2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $5$ на $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) = 0$

Этап 2.1.2.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}) = 0$

Этап 2.1.2.3

Умножим $25$ на $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}) = 0$

Этап 2.1.2.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125) = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$27 x^{3} - x^{3} - (15 x^{2}) - (75 x) - 1 \cdot 125 = 0$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Умножим $15$ на $- 1$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - (75 x) - 1 \cdot 125 = 0$

Этап 2.1.4.2

Умножим $75$ на $- 1$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 1 \cdot 125 = 0$

Этап 2.1.4.3

Умножим $- 1$ на $125$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $x^{3}$ из $27 x^{3}$ .

$26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125 = 0$

Этап 3

Разложим $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

Этап 3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.0\overline{384615}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{076923}, \pm 125, \pm 4.8\overline{076923}, \pm 62.5, \pm 9.\overline{615384}, \pm 5, \pm 0.1\overline{923076}, \pm 2.5, \pm 0.\overline{384615}, \pm 25, \pm 0.9\overline{615384}, \pm 12.5, \pm 1.\overline{923076}$

Этап 3.3

Подставим $2.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим $2.5$ в многочлен.

$26 \cdot {2.5}^{3} - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

Этап 3.3.2

Возведем $2.5$ в степень $3$ .

$26 \cdot 15.625 - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

Этап 3.3.3

Умножим $26$ на $15.625$ .

$406.25 - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

Этап 3.3.4

Возведем $2.5$ в степень $2$ .

$406.25 - 15 \cdot 6.25 - 75 \cdot 2.5 - 125$

Этап 3.3.5

Умножим $- 15$ на $6.25$ .

$406.25 - 93.75 - 75 \cdot 2.5 - 125$

Этап 3.3.6

Вычтем $93.75$ из $406.25$ .

$312.5 - 75 \cdot 2.5 - 125$

Этап 3.3.7

Умножим $- 75$ на $2.5$ .

$312.5 - 187.5 - 125$

Этап 3.3.8

Вычтем $187.5$ из $312.5$ .

$125 - 125$

Этап 3.3.9

Вычтем $125$ из $125$ .

$0$

Этап 3.4

Поскольку $2.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125}{2 x - 5}$

Этап 3.5

Разделим $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ на $2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$5$

$26 x^{3}$

$15 x^{2}$

$75 x$

$125$

Этап 3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $26 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$13 x^{2}$
	$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$

Этап 3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			+	$26 x^{3}$	-	$65 x^{2}$

Этап 3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $26 x^{3} - 65 x^{2}$ .

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$

Этап 3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$

Этап 3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$

Этап 3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $50 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$

Этап 3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					+	$50 x^{2}$	-	$125 x$

Этап 3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $50 x^{2} - 125 x$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$

Этап 3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$

Этап 3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$

Этап 3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $50 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$

Этап 3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							+	$50 x$	-	$125$

Этап 3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $50 x - 125$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							-	$50 x$	+	$125$

Этап 3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							-	$50 x$	+	$125$
										$0$

Этап 3.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$13 x^{2} + 25 x + 25$

Этап 3.6

Запишем $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ в виде набора множителей.

$(2 x - 5) (13 x^{2} + 25 x + 25) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$

Этап 5

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 6

Приравняем $13 x^{2} + 25 x + 25$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $13 x^{2} + 25 x + 25$ к $0$ .

$13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$

Этап 6.2

Решим $13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 13$ , $b = 25$ и $c = 25$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (13 \cdot 25)}}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $25$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 13 \cdot 25}}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 13 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 52 \cdot 25}}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 52$ на $25$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 1300}}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $1300$ из $625$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $- 675$ в виде $- 1 (675)$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (675)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3.1.7

Перепишем $675$ в виде $15^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $225$ из $675$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3.1.7.2

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3.1.9

Перенесем $15$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 25 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 13}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $13$ .

$x = \frac{- 25 \pm 15 i \sqrt{3}}{26}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{25 - 15 i \sqrt{3}}{26}, - \frac{25 + 15 i \sqrt{3}}{26}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 5) (13 x^{2} + 25 x + 25) = 0$ верно.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{25 - 15 i \sqrt{3}}{26}, - \frac{25 + 15 i \sqrt{3}}{26}$