Основы мат. анализа Примеры

$2 \cos (5 x) - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (5 x) = 1$

Этап 2

Разделим каждый член $2 \cos (5 x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 \cos (5 x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\cos (5 x)$ на $1$ .

$\cos (5 x) = \frac{1}{2}$

Этап 3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$5 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$5 x = \frac{π}{3}$

Этап 5

Разделим каждый член $5 x = \frac{π}{3}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $5 x = \frac{π}{3}$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $3$ на $5$ .

$x = \frac{π}{15}$

Этап 6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$5 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 7.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$5 x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 7.1.5

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$5 x = \frac{5 π}{3}$

Этап 7.2

Разделим каждый член $5 x = \frac{5 π}{3}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $5 x = \frac{5 π}{3}$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 π$ .

$x = \frac{5 (π)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{3}$

Этап 8

Найдем период $\cos (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $5$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Этап 9

Период функции $\cos (5 x)$ равен $\frac{2 π}{5}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{5}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ , для любого целого $n$