Основы мат. анализа Примеры

$2 \cos (2 x) = 1 - \cos (x)$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (2 x) - 1 = - \cos (x)$

Этап 1.2

Добавим $\cos (x)$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (2 x) - 1 + \cos (x) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 + \cos (x) = 0$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 1 + \cos (x) = 0$

Этап 2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 1 + \cos (x) = 0$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 1 + \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 3 + \cos (x) = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$4 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 3 = 0$

Этап 3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим на $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 3 = 0$

Этап 3.2.2

Запишем $1$ как $- 3$ плюс $4$

$4 \cos^{2} (x) + (- 3 + 4) \cos (x) - 3 = 0$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 4 \cos (x) - 3 = 0$

Этап 3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 4 \cos (x) - 3 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\cos (x) (4 \cos (x) - 3) + 1 (4 \cos (x) - 3) = 0$

Этап 3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 \cos (x) - 3$ .

$(4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 \cos (x) - 3 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $4 \cos (x) - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $4 \cos (x) - 3$ к $0$ .

$4 \cos (x) - 3 = 0$

Этап 5.2

Решим $4 \cos (x) - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 \cos (x) = 3$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $4 \cos (x) = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $4 \cos (x) = 3$ на $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{3}{4})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Найдем значение $\arccos (\frac{3}{4})$ .

$x = 0.72273424$

Этап 5.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 0.72273424$

Этап 5.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 0.72273424$

Этап 5.2.6.2

Упростим $2 (3.14159265) - 0.72273424$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.72273424$

Этап 5.2.6.2.2

Вычтем $0.72273424$ из $6.2831853$ .

$x = 5.56045105$

Этап 5.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.72273424 + 2 π n, 5.56045105 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 1$

Этап 6.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 6.2.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 6.2.5

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 6.2.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 0.72273424 + 2 π n, 5.56045105 + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$