Основы мат. анализа Примеры

$2 \cos (3 x) + \sqrt{2} = 0$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (3 x) = - \sqrt{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $2 \cos (3 x) = - \sqrt{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 \cos (3 x) = - \sqrt{2}$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\cos (3 x)$ на $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (3 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$3 x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{4}$

Этап 6

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$3 x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 7.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 7.1.4

Умножим $4$ на $2$ .

$3 x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 7.1.5

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$3 x = \frac{5 π}{4}$

Этап 7.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 8

Найдем период $\cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 9

Период функции $\cos (3 x)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$