Основы мат. анализа Примеры

$2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$

Этап 1

Разделим каждый член $2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ на $1$ .

$\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$5 x - \frac{1}{12} \cdot π = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{12}$ .

$5 x - \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$5 x - \frac{π}{12} = - \frac{π}{4}$

Этап 5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{π}{12}$ к обеим частям уравнения.

$5 x = - \frac{π}{4} + \frac{π}{12}$

Этап 5.2

Чтобы записать $- \frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{12}$

Этап 5.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{12}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 x = \frac{- π \cdot 3 + π}{12}$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 x = \frac{- 3 π + π}{12}$

Этап 5.5.2

Добавим $- 3 π$ и $π$ .

$5 x = \frac{- 2 π}{12}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$5 x = \frac{2 (- π)}{12}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$5 x = \frac{2 (- π)}{2 (6)}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$5 x = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$5 x = \frac{- π}{6}$

Этап 5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 x = - \frac{π}{6}$

Этап 6

Разделим каждый член $5 x = - \frac{π}{6}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $5 x = - \frac{π}{6}$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 6.3.2

Умножим $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{5 \cdot 6}$

Этап 6.3.2.2

Умножим $5$ на $6$ .

$x = - \frac{π}{30}$

Этап 7

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$5 x - \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 8

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$5 x - \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 8.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$5 x - \frac{π}{12} = \frac{5 π}{4}$

Этап 8.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Добавим $\frac{π}{12}$ к обеим частям уравнения.

$5 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{12}$

Этап 8.3.1.2

Чтобы записать $\frac{5 π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{12}$

Этап 8.3.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{12}$

Этап 8.3.1.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$5 x = \frac{5 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{12}$

Этап 8.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 x = \frac{5 π \cdot 3 + π}{12}$

Этап 8.3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

Умножим $3$ на $5$ .

$5 x = \frac{15 π + π}{12}$

Этап 8.3.1.5.2

Добавим $15 π$ и $π$ .

$5 x = \frac{16 π}{12}$

Этап 8.3.1.6

Сократим общий множитель $16$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $16 π$ .

$5 x = \frac{4 (4 π)}{12}$

Этап 8.3.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$5 x = \frac{4 (4 π)}{4 (3)}$

Этап 8.3.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$5 x = \frac{4 (4 π)}{4 \cdot 3}$

Этап 8.3.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$5 x = \frac{4 π}{3}$

Этап 8.3.2

Разделим каждый член $5 x = \frac{4 π}{3}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Разделим каждый член $5 x = \frac{4 π}{3}$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Этап 8.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Этап 8.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Этап 8.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 8.3.2.3.2

Умножим $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.2.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 5}$

Этап 8.3.2.3.2.2

Умножим $3$ на $5$ .

$x = \frac{4 π}{15}$

Этап 9

Найдем период $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $5$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Этап 9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Этап 10

Добавим $\frac{2 π}{5}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $\frac{2 π}{5}$ к $- \frac{π}{30}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{30} + \frac{2 π}{5}$

Этап 10.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{30}$

Этап 10.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $30$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $\frac{2 π}{5}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{5 \cdot 6} - \frac{π}{30}$

Этап 10.3.2

Умножим $5$ на $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{30} - \frac{π}{30}$

Этап 10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{30}$

Этап 10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{30}$

Этап 10.5.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{30}$

Этап 10.6

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{30}$

Этап 11

Период функции $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ равен $\frac{2 π}{5}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{5}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4 π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{11 π}{30} + \frac{2 π n}{5}$ , для любого целого $n$