Основы мат. анализа Примеры

$2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$

Этап 1

Разделим каждый член $2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{π}{4} x)$ на $1$ .

$\sin (\frac{π}{4} x) = \frac{1}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{π}{4} x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{π}{4}$ и $x$ .

$\frac{π x}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{6}$

Этап 5

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Этап 6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Этап 6.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Этап 6.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Этап 6.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Этап 6.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Этап 6.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 6.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 6.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{3}$

Этап 6.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{3}$

Этап 6.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (\frac{1}{3})$

Этап 6.2.1.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{π x}{4} = π - \frac{π}{6}$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Этап 8.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Этап 8.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Этап 8.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Этап 8.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Этап 8.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим $\frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Этап 8.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{4}{π} (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Этап 8.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 8.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 8.2.2.1.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Этап 8.2.2.1.2.3.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Этап 8.2.2.1.2.3.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Этап 8.2.2.1.2.4

Умножим $\frac{2}{π}$ на $\frac{π \cdot 6 - π}{3}$ .

$x = \frac{2 (π \cdot 6 - π)}{π \cdot 3}$

Этап 8.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 (6 \cdot π - π)}{π \cdot 3}$

Этап 8.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{2 \cdot 5 π}{π \cdot 3}$

Этап 8.2.2.1.3.3

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{10 π}{π \cdot 3}$

Этап 8.2.2.1.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{10 π}{π \cdot 3}$

Этап 8.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{10}{3}$

Этап 9

Найдем период $\sin (\frac{π}{4} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{4}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Этап 9.3

$\frac{π}{4}$ приблизительно равно $0.78539816$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{4}{π}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Этап 9.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Этап 9.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 4$

Этап 9.6

Умножим $2$ на $4$ .

$8$

Этап 10

Период функции $\sin (\frac{π}{4} x)$ равен $8$ . Поэтому значения повторяются через каждые $8$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2}{3} + 8 n, \frac{10}{3} + 8 n$ , для любого целого $n$