Основы мат. анализа Примеры

$2 \sin (x) - 1 = \frac{3}{\sin (x)}$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, \sin (x), 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$\sin (x)$

Этап 3

Каждый член в $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ умножим на $\sin (x)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ на $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\sin (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$2 (\sin (x) \sin (x)) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Этап 3.2.1.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \sin^{2} (x) = 3 + 1 \sin (x)$

Этап 3.3.1.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = 3 + \sin (x)$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 3$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Этап 4.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Этап 4.3.1.2

Запишем $- 1$ как $2$ плюс $- 3$

$2 \sin^{2} (x) + (2 - 3) \sin (x) - 3 = 0$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Этап 4.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 \sin (x) (\sin (x) + 1) - 3 (\sin (x) + 1) = 0$

Этап 4.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\sin (x) + 1$ .

$(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 4.6

Приравняем $2 \sin (x) - 3$ к $0$ , затем решим относительно $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $2 \sin (x) - 3$ к $0$ .

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $2 \sin (x) - 3 = 0$ относительно $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin (x) = 3$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 3$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$ верно.

$\sin (x) = - 1, \frac{3}{2}$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 6.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 6.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 6.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 6.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $\frac{3}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$