Основы мат. анализа Примеры

$2 \log (x) - \log (5) = \log (x + 10)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \log (x) - \log (5) - \log (x + 10) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \log (x) - \log (5) - \log (x + 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $2 \log (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (x^{2}) - \log (5) - \log (x + 10) = 0$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2}}{5}) - \log (x + 10) = 0$

Этап 2.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{5}}{x + 10}) = 0$

Этап 2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log (\frac{x^{2}}{5} \cdot \frac{1}{x + 10}) = 0$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{x^{2}}{5}$ на $\frac{1}{x + 10}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{5 (x + 10)}) = 0$

Этап 3

Перепишем $\log (\frac{x^{2}}{5 (x + 10)}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{x^{2}}{5 (x + 10)}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{2} = 10^{0} (5 (x + 10))$

Этап 5

Упростим $10^{0} (5 (x + 10))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{2} = 1 (5 (x + 10))$

Этап 5.1.2

Умножим $5 (x + 10)$ на $1$ .

$x^{2} = 5 (x + 10)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = 5 x + 5 \cdot 10$

Этап 5.3

Умножим $5$ на $10$ .

$x^{2} = 5 x + 50$

Этап 6

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 5 x = 50$

Этап 7

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 50$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 50$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 50$

Этап 8

Упростим $x (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 50$

Этап 8.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 5 = 50$

Этап 8.2.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$x^{2} - 5 x = 50$

Этап 9

Вычтем $50$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 5 x - 50 = 0$

Этап 10

Разложим $x^{2} - 5 x - 50$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 50$ , а сумма — $- 5$ .

$- 10, 5$

Этап 10.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 10) (x + 5) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 12

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 12.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 13

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 10, - 5$

Этап 15

Исключим решения, которые не делают $2 \log (x) - \log (5) = \log (x + 10)$ истинным.

$x = 10$