Основы мат. анализа Примеры

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) = 3 \ln (2)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим $2 \ln (x + 3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Этап 2.1.1.2

Упростим $- 3 \ln (2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (2^{3}) = 0$

Этап 2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (8) = 0$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}) - \ln (8) = 0$

Этап 2.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}}{8}) = 0$

Этап 2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{1}{8}) = 0$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 1) \cdot 8}) = 0$

Этап 2.1.6

Перенесем $8$ влево от $x + 1$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

${(x + 3)}^{2} = e^{0} (8 (x + 1))$

Этап 5

Упростим $e^{0} (8 (x + 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 1 (8 (x + 1))$

Этап 5.1.2

Умножим $8 (x + 1)$ на $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 (x + 1)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8 \cdot 1$

Этап 5.3

Умножим $8$ на $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8$

Этап 6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

${(x + 3)}^{2} - 8 x = 8$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$(x + 3) (x + 3) - 8 x = 8$

Этап 6.2.2

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Этап 6.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Этап 6.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Этап 6.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Этап 6.2.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Этап 6.2.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 8 x = 8$

Этап 6.2.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 - 8 x = 8$

Этап 6.3

Вычтем $8 x$ из $6 x$ .

$x^{2} - 2 x + 9 = 8$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x = 8 - 9$

Этап 7.2

Вычтем $9$ из $8$ .

$x^{2} - 2 x = - 1$

Этап 8

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Этап 9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Этап 9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 9.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 9.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 10

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 11

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$