Основы мат. анализа Примеры

$2 \ln (x) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$

Step 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$

Step 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $\ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2}) = \ln ((2 x - 3) (x - 2))$

Развернем $(2 x - 3) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x (x - 2) - 3 (x - 2))$

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 3 (x - 2))$

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 4 x - 3 x + 6)$

Вычтем $3 x$ из $- 4 x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 7 x + 6)$

Step 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} = 2 x^{2} - 7 x + 6$

Step 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$2 x^{2} - 7 x + 6 = x^{2}$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} = 0$

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

Разложим $x^{2} - 7 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 7$ .

$- 6, - 1$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x - 1) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 6, 1$

Step 5

Исключим решения, которые не делают $2 \ln (x) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$ истинным.

$x = 6$