Основы мат. анализа Примеры

$2 \ln (x + 2) = \ln (10 x)$

Step 1

Упростим $2 \ln (x + 2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({(x + 2)}^{2}) = \ln (10 x)$

Step 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

${(x + 2)}^{2} = 10 x$

Step 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

${(x + 2)}^{2} - 10 x = 0$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x + 2) (x + 2) - 10 x = 0$

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 2) + 2 (x + 2) - 10 x = 0$

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - 10 x = 0$

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 10 x = 0$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 10 x = 0$

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - 10 x = 0$

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 10 x = 0$

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$x^{2} + 4 x + 4 - 10 x = 0$

Вычтем $10 x$ из $4 x$ .

$x^{2} - 6 x + 4 = 0$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Вычтем $16$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{5}$

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + \sqrt{5}, 3 - \sqrt{5}$

Step 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 3 + \sqrt{5}, 3 - \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$x = 5.23606797 \dots, 0.76393202 \dots$