Основы мат. анализа Примеры

$24 \sin^{2} (x) = 24 - 12 \cos (x)$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$24 \sin^{2} (x) - 24 = - 12 \cos (x)$

Этап 1.2

Добавим $12 \cos (x)$ к обеим частям уравнения.

$24 \sin^{2} (x) - 24 + 12 \cos (x) = 0$

Этап 2

Упростим $24 \sin^{2} (x) - 24 + 12 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Изменим порядок $24 \sin^{2} (x)$ и $- 24$ .

$- 24 + 24 \sin^{2} (x) + 12 \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 24$ из $- 24$ .

$- 24 (1) + 24 \sin^{2} (x) + 12 \cos (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 24$ из $24 \sin^{2} (x)$ .

$- 24 (1) - 24 (- \sin^{2} (x)) + 12 \cos (x) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 24$ из $- 24 (1) - 24 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 24 (1 - \sin^{2} (x)) + 12 \cos (x) = 0$

Этап 2.5

Применим формулу Пифагора.

$- 24 \cos^{2} (x) + 12 \cos (x) = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ для всех.

$- 24 u^{2} + 12 u = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $12 u$ из $- 24 u^{2} + 12 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $12 u$ из $- 24 u^{2}$ .

$12 u (- 2 u) + 12 u = 0$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $12 u$ из $12 u$ .

$12 u (- 2 u) + 12 u (1) = 0$

Этап 3.1.2.3

Вынесем множитель $12 u$ из $12 u (- 2 u) + 12 u (1)$ .

$12 u (- 2 u + 1) = 0$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$12 \cos (x) (- 2 \cos (x) + 1) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- 2 \cos (x) + 1 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 3.3.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.3.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.3.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.3.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.3.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.3.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.4

Приравняем $- 2 \cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $- 2 \cos (x) + 1$ к $0$ .

$- 2 \cos (x) + 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $- 2 \cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \cos (x) = - 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 3.4.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 3.4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 3.4.2.5

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 3.4.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 3.4.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 3.4.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 3.4.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 3.4.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 3.4.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.4.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 \cos (x) (- 2 \cos (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$