Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{5}$ .

$x (2 x^{4}) - 15 x^{3} - 27 x = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 15 x^{3}$ .

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) - 27 x = 0$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 27 x$ .

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2})$ .

$x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27$ .

$x (2 x^{4} - 15 x^{2} - 27) = 0$

Этап 1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (2 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} - 27) = 0$

Этап 1.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 27 = - 54$ , а сумма — $b = - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $- 15$ из $- 15 u$ .

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

Этап 1.4.1.2

Запишем $- 15$ как $3$ плюс $- 18$

$x (2 u^{2} + (3 - 18) u - 27) = 0$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 u^{2} + 3 u - 18 u - 27) = 0$

Этап 1.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((2 u^{2} + 3 u) - 18 u - 27) = 0$

Этап 1.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (u (2 u + 3) - 9 (2 u + 3)) = 0$

Этап 1.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 3$ .

$x ((2 u + 3) (u - 9)) = 0$

Этап 1.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 9)) = 0$

Этап 1.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Этап 1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$x ((2 x^{2} + 3) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Этап 1.7.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} + 3 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Приравняем $2 x^{2} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 x^{2} + 3$ к $0$ .

$2 x^{2} + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $2 x^{2} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} = - 3$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.2.4.4

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 4.2.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.2.4.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 4.2.4.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 4.2.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.2.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.2.4.5.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 4.2.4.5.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Этап 4.2.4.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 4.2.4.7

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Этап 4.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Этап 4.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Этап 4.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Этап 5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}, - 3, 3$