Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{4} + 3 x^{3} - 17 x^{2} + x - 6 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$3 x^{3} + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{3}$ .

$x (3 x^{2}) + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Этап 1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x (3 x^{2}) + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x (3 x^{2}) + x \cdot 1 + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (3 x^{2} + 1) + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Этап 1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (3 x^{2} + 1) + 3 {(x^{2})}^{2} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Этап 1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} - 17 u - 6 = 0$

Этап 1.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 u$ .

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} - 17 u - 6 = 0$

Этап 1.5.1.2

Запишем $- 17$ как $1$ плюс $- 18$

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + (1 - 18) u - 6 = 0$

Этап 1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + 1 u - 18 u - 6 = 0$

Этап 1.5.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + u - 18 u - 6 = 0$

Этап 1.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + u - 18 u - 6 = 0$

Этап 1.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x^{2} + 1) + u (3 u + 1) - 6 (3 u + 1) = 0$

Этап 1.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$x (3 x^{2} + 1) + (3 u + 1) (u - 6) = 0$

Этап 1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (3 x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 1.7

Вынесем множитель $3 x^{2} + 1$ из $x (3 x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $3 x^{2} + 1$ из $x (3 x^{2} + 1)$ .

$(3 x^{2} + 1) x + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 1.7.2

Вынесем множитель $3 x^{2} + 1$ из $(3 x^{2} + 1) x + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ .

$(3 x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

Этап 1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(3 x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

Этап 1.9

Разложим $u + u^{2} - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 1.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(3 x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

Этап 1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(3 x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Этап 1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $3 x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3 x^{2} + 1$ к $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $3 x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Этап 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Этап 3.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{3}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Этап 3.2.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Этап 3.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Этап 3.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 3.2.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 3.2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.2.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.2.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.2.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.2.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.2.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.4.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, 2, - 3$