Основы мат. анализа Примеры

$3 = \log_{x} (512)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде

$\log_{x} (512) = 3$ .

$\log_{x} (512) = 3$

Этап 2

Перепишем

$\log_{x} (512) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если

$x$ и

$b$ — положительные вещественные числа и

$b \neq 1$ , то

$\log_{b} (x) = y$ эквивалентно

$b^{y} = x$ .

$x^{3} = 512$

Этап 3

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем

$512$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 512 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем

$512$ в виде

$8^{3}$ .

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где

$a = x$ и

$b = 8$ .

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перенесем

$8$ влево от

$x$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Этап 3.2.3.2

Возведем

$8$ в степень

$2$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

$0$ , все выражение равно

$0$ .

$x - 8 = 0$

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Этап 3.4

Приравняем

$x - 8$ к

$0$ , затем решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем

$x - 8$ к

$0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим

$8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 3.5

Приравняем

$x^{2} + 8 x + 64$ к

$0$ , затем решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем

$x^{2} + 8 x + 64$ к

$0$ .

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Этап 3.5.2

Решим

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$ относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5.2.2

Подставим значения

$a = 1$ ,

$b = 8$ и

$c = 64$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

$x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Возведем

$8$ в степень

$2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Умножим

$- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Умножим

$- 4$ на

$64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.3

Вычтем

$256$ из

$64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.4

Перепишем

$- 192$ в виде

$- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.5

Перепишем

$\sqrt{- 1 (192)}$ в виде

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.6

Перепишем

$\sqrt{- 1}$ в виде

$i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.7

Перепишем

$192$ в виде

$8^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель

$64$ из

$192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.7.2

Перепишем

$64$ в виде

$8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.9

Перенесем

$8$ влево от

$i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.5.2.3.3

Упростим

$\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Этап 3.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ верно.

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$