Основы мат. анализа Примеры

$3 e^{x} + 2 e^{- x} = 7$

Этап 1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$3 e^{x} + 2 {(e^{x})}^{- 1} = 7$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$3 u + 2 u^{- 1} = 7$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 u + 2 (\frac{1}{u}) = 7$

Этап 3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{u}$ .

$3 u + \frac{2}{u} = 7$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 4.2

Каждый член в $3 u + \frac{2}{u} = 7$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $3 u + \frac{2}{u} = 7$ на $u$ .

$3 u \cdot u + \frac{2}{u} u = 7 u$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Перенесем $u$ .

$3 (u \cdot u) + \frac{2}{u} u = 7 u$

Этап 4.2.2.1.1.2

Умножим $u$ на $u$ .

$3 u^{2} + \frac{2}{u} u = 7 u$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 u^{2} + \frac{2}{u} u = 7 u$

Этап 4.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$3 u^{2} + 2 = 7 u$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $7 u$ из обеих частей уравнения.

$3 u^{2} + 2 - 7 u = 0$

Этап 4.3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Изменим порядок членов.

$3 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

Этап 4.3.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 u$ .

$3 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

Этап 4.3.2.2.2

Запишем $- 7$ как $- 1$ плюс $- 6$

$3 u^{2} + (- 1 - 6) u + 2 = 0$

Этап 4.3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} - 1 u - 6 u + 2 = 0$

Этап 4.3.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} - 1 u) - 6 u + 2 = 0$

Этап 4.3.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (3 u - 1) - 2 (3 u - 1) = 0$

Этап 4.3.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 2) = 0$

Этап 4.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$u - 2 = 0$

Этап 4.3.4

Приравняем $3 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $3 u - 1$ к $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Этап 4.3.4.2

Решим $3 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 u = 1$

Этап 4.3.4.2.2

Разделим каждый член $3 u = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = 1$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.3.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Этап 4.3.5

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 4.3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 4.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 u - 1) (u - 2) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{3}, 2$

Этап 5

Подставим $\frac{1}{3}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{1}{3} = e^{x}$

Этап 6

Решим $\frac{1}{3} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{1}{3}$ .

$e^{x} = \frac{1}{3}$

Этап 6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{3})$

Этап 6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{3})$

Этап 6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{3})$

Этап 6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{3})$

Этап 7

Подставим $2$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Этап 8

Решим $2 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Этап 8.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Этап 8.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Этап 8.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (2)$

Этап 9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (\frac{1}{3}), \ln (2)$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (\frac{1}{3}), \ln (2)$

Десятичная форма:

$x = - 1.09861228 \dots, 0.69314718 \dots$