Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} = 2$

Этап 1

Найдем общий множитель $x^{\frac{1}{4}}$ , который присутствует в каждом члене.

$3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{4}}$ .

$3 {(u)}^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $5$ на $u$ .

$3 u^{2} + 5 u - 2 = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u$ .

$3 u^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

Этап 3.2.1.2

Запишем $5$ как $- 1$ плюс $6$

$3 u^{2} + (- 1 + 6) u - 2 = 0$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} - 1 u + 6 u - 2 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} - 1 u) + 6 u - 2 = 0$

Этап 3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1) = 0$

Этап 3.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u + 2) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $3 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $3 u - 1$ к $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $3 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 u = 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $3 u = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = 1$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Этап 3.5

Приравняем $u + 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $u + 2$ к $0$ .

$u + 2 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u = - 2$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 u - 1) (u + 2) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{3}, - 2$

Этап 4

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3}, - 2$

Этап 5

Решим относительно $x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3}$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 5.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 5.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим.

$x = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим ${(\frac{1}{3})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{1^{4}}{3^{4}}$

Этап 5.2.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{1}{3^{4}}$

Этап 5.2.2.1.3

Возведем $3$ в степень $4$ .

$x = \frac{1}{81}$

Этап 6

Решим относительно $x^{\frac{1}{4}} = - 2$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 2)}^{4}$

Этап 6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Этап 6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 2)}^{4}$

Этап 6.2.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 2)}^{4}$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$x = 16$

Этап 7

Перечислим все решения.

$x = \frac{1}{81}, 16$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} = 2$ истинным.

$x = \frac{1}{81}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{81}$

Десятичная форма:

$x = 0.01234567 \dots$