Основы мат. анализа Примеры

$| x^{2} - 2 x | = 8$

Этап 1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 2 x = \pm 8$

Этап 2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x^{2} - 2 x = 8$

Этап 2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Этап 2.3

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 4, - 2$

Этап 2.8

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x^{2} - 2 x = - 8$

Этап 2.9

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Этап 2.10

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.11

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12.1.3

Вычтем $32$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12.1.4

Перепишем $- 28$ в виде $- 1 (28)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (28)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12.1.7

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.12.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

Этап 2.12.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

Этап 2.13

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Этап 2.14

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$