Основы мат. анализа Примеры

$2 \sin (x - \frac{π}{4}) + \sqrt{3} = 0$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$

Этап 2

Разделим каждый член $2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x - \frac{π}{4})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x - \frac{π}{4})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sin (x - \frac{π}{4})$ на $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x - \frac{π}{4} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{3}$

Этап 5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = - \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$

Этап 5.2

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.3

Чтобы записать $\frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.4.3

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 5.4.4

Умножим $4$ на $3$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 π + π \cdot 3}{12}$

Этап 5.6.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{- 4 π + 3 \cdot π}{12}$

Этап 5.6.3

Добавим $- 4 π$ и $3 π$ .

$x = \frac{- π}{12}$

Этап 5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{π}{12}$

Этап 6

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x - \frac{π}{4} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x - \frac{π}{4} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 7.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$x - \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3}$

Этап 7.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{4 π}{3} + \frac{π}{4}$

Этап 7.3.2

Чтобы записать $\frac{4 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.3.3

Чтобы записать $\frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.3.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.3.4.3

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 7.3.4.4

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Этап 7.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{4 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Этап 7.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.1

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{16 π + π \cdot 3}{12}$

Этап 7.3.6.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{16 π + 3 \cdot π}{12}$

Этап 7.3.6.3

Добавим $16 π$ и $3 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

Этап 8

Найдем период $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{12} + 2 π$

Этап 9.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 12 - π}{12}$

Этап 9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $12$ на $2$ .

$\frac{24 π - π}{12}$

Этап 9.4.2

Вычтем $π$ из $24 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Этап 9.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{23 π}{12}$

Этап 10

Период функции $\sin (x - \frac{π}{4})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{23 π}{12} + 2 π n$ , для любого целого $n$