Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{4} (x) = 3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log_{4} (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{4} (x^{2}) = 3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Логарифм $2$ по основанию $4$ равен $\frac{1}{2}$ .

$\log_{4} (x^{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + \log_{4} (8)$

Этап 2.1.1.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{3}{2} + \log_{4} (8)$

Этап 2.1.1.3

Логарифм $8$ по основанию $4$ равен $\frac{3}{2}$ .

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{3 + 3}{2}$

Этап 2.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Добавим $3$ и $3$ .

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{6}{2}$

Этап 2.1.2.2.2

Разделим $6$ на $2$ .

$\log_{4} (x^{2}) = 3$

Этап 3

Запишем в экспоненциальной форме.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для логарифмических уравнений $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ такому, что $x > 0$ , $b > 0$ и $b \neq 1$ . В этом случае $b = 4$ , $x = x^{2}$ и $y = 3$ .

$b = 4$

$x = x^{2}$

$y = 3$

Этап 3.2

Подставим значения $b$ , $x$ и $y$ в уравнение $b^{y} = x$ .

$4^{3} = x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} = 4^{3}$ .

$x^{2} = 4^{3}$

Этап 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4^{3}}$

Этап 4.3

Упростим $\pm \sqrt{4^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$x = \pm \sqrt{64}$

Этап 4.3.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Этап 4.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 8$

Этап 4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 8$

Этап 4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 8$

Этап 4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 8, - 8$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $2 \log_{4} (x) = 3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$ истинным.

$x = 8$