Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Step 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Step 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $2 \log_{2} (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$

Step 3

Перепишем $\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{4} = \frac{x^{2}}{x + 5}$

Step 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{2} = 2^{4} (x + 5)$

Step 5

Упростим $2^{4} (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $4$ .

$x^{2} = 16 (x + 5)$

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = 16 x + 16 \cdot 5$

Умножим $16$ на $5$ .

$x^{2} = 16 x + 80$

Step 6

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 16 x = 80$

Step 7

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 16 x = 80$

Вынесем множитель $x$ из $- 16 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 16$ .

$x (x - 16) = 80$

Step 8

Упростим $x (x - 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 16 = 80$

Перенесем $- 16$ влево от $x$ .

$x^{2} - 16 x = 80$

Step 9

Вычтем $80$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 16 x - 80 = 0$

Step 10

Разложим $x^{2} - 16 x - 80$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 80$ , а сумма — $- 16$ .

$- 20, 4$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 20) (x + 4) = 0$

Step 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 20 = 0$

$x + 4 = 0$

Step 12

Приравняем $x - 20$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 20$ к $0$ .

$x - 20 = 0$

Добавим $20$ к обеим частям уравнения.

$x = 20$

Step 13

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Step 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 20) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 20, - 4$

Step 15

Исключим решения, которые не делают $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$ истинным.

$x = 20$