Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{2} (x + 1) = \log_{2} (4) + 2$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \log_{2} (x + 1) - \log_{2} (4) = 2$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Логарифм $4$ по основанию $2$ равен $2$ .

$2 \log_{2} (x + 1) - 1 \cdot 2 = 2$

Этап 2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \log_{2} (x + 1) - 2 = 2$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $2 \log_{2} (x + 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{2} ({(x + 1)}^{2}) - 2 = 2$

Этап 4

Перенесем все члены без $\log_{2} ({(x + 1)}^{2})$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\log_{2} ({(x + 1)}^{2}) = 2 + 2$

Этап 4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\log_{2} ({(x + 1)}^{2}) = 4$

Этап 5

Перепишем $\log_{2} ({(x + 1)}^{2}) = 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{4} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде ${(x + 1)}^{2} = 2^{4}$ .

${(x + 1)}^{2} = 2^{4}$

Этап 6.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 1 = \pm \sqrt{2^{4}}$

Этап 6.3

Упростим $\pm \sqrt{2^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$x + 1 = \pm \sqrt{16}$

Этап 6.3.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x + 1 = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 6.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x + 1 = \pm 4$

Этап 6.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x + 1 = 4$

Этап 6.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = 4 - 1$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$x = 3$

Этап 6.4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x + 1 = - 4$

Этап 6.4.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4 - 1$

Этап 6.4.4.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$x = - 5$

Этап 6.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 5$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $2 \log_{2} (x + 1) = \log_{2} (4) + 2$ истинным.

$x = 3$