Основы мат. анализа Примеры

$2 \cos^{3} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Step 1

Разложим $2 \cos^{3} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 \cos^{3} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\cos^{2} (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1) = 0$

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(2 \cos (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Step 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Step 3

Приравняем $2 \cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $2 \cos (x) + 1$ к $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Решим $2 \cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (x) = - 1$

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 4

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Решим $\cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 1$

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

$x = 2 π - π$

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 5

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Решим $\cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 1$

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 7

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $π + 2 π n$ и $2 π n$ в $π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Объединим $π n$ и $2 π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, π n$ , для любого целого $n$