Основы мат. анализа Примеры

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 3 = 0$

Step 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u = \cos (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ для всех.

$2 u^{2} - u - 3 = 0$

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 3 = 0$

Запишем $- 1$ как $2$ плюс $- 3$

$2 u^{2} + (2 - 3) u - 3 = 0$

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 2 u - 3 u - 3 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} + 2 u) - 3 u - 3 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 u (u + 1) - 3 (u + 1) = 0$

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u + 1$ .

$(u + 1) (2 u - 3) = 0$

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$(\cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 3) = 0$

Step 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - 3 = 0$

Step 3

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Решим $\cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 1$

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 4

Приравняем $2 \cos (x) - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $2 \cos (x) - 3$ к $0$ .

$2 \cos (x) - 3 = 0$

Решим $2 \cos (x) - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (x) = 3$

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 3$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{2}$

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $\frac{3}{2}$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Step 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 3) = 0$ верно.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$