Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{7} (1 - x) = \log_{7} (7 - x)$

Этап 1

Упростим $2 \log_{7} (1 - x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{7} ({(1 - x)}^{2}) = \log_{7} (7 - x)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

${(1 - x)}^{2} = 7 - x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

${(1 - x)}^{2} + x = 7$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(1 - x)}^{2}$ в виде $(1 - x) (1 - x)$ .

$(1 - x) (1 - x) + x = 7$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(1 - x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 - x) - x (1 - x) + x = 7$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + x = 7$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + x = 7$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + x = 7$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + x = 7$

Этап 3.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - x - x - x (- x) + x = 7$

Этап 3.1.2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + x = 7$

Этап 3.1.2.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + x = 7$

Этап 3.1.2.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + x = 7$

Этап 3.1.2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - x - x + 1 x^{2} + x = 7$

Этап 3.1.2.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$1 - x - x + x^{2} + x = 7$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$1 - 2 x + x^{2} + x = 7$

Этап 3.1.3

Добавим $- 2 x$ и $x$ .

$1 + x^{2} - x = 7$

Этап 3.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$1 + x^{2} - x - 7 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $7$ из $1$ .

$x^{2} - x - 6 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $2 \log_{7} (1 - x) = \log_{7} (7 - x)$ истинным.

$x = - 2$