Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{8} (x - 2) + \log_{8} (16) = 2$

Step 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Логарифм $16$ по основанию $8$ равен $\frac{4}{3}$ .

$2 \log_{8} (x - 2) + \frac{4}{3} = 2$

Чтобы записать $2 \log_{8} (x - 2)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 \log_{8} (x - 2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = 2$

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2 \log_{8} (x - 2)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3}{3} + \frac{4}{3} = 2$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 4}{3} = 2$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3$ .

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 4}{3} = 2$

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 2 \cdot 2}{3} = 2$

Вынесем множитель $2$ из $2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 2)}{3} = 2$

Перенесем $3$ влево от $\log_{8} (x - 2)$ .

$\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} = 2$

Step 2

Умножим обе части на $3$ .

$\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Step 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $3 \log_{8} (x - 2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Перепишем это выражение.

$2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2) = 2 \cdot 3$

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2 \cdot 2 = 2 \cdot 3$

Упростим $2 \log_{8} ({(x - 2)}^{3})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{8} ({({(x - 2)}^{3})}^{2}) + 2 \cdot 2 = 2 \cdot 3$

Умножим $2$ на $2$ .

$\log_{8} ({({(x - 2)}^{3})}^{2}) + 4 = 2 \cdot 3$

Перемножим экспоненты в ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{3 \cdot 2}) + 4 = 2 \cdot 3$

Умножим $3$ на $2$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) + 4 = 2 \cdot 3$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $3$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) + 4 = 6$

Step 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем все члены без $\log_{8} ({(x - 2)}^{6})$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 6 - 4$

Вычтем $4$ из $6$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 2$

Перепишем $\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$8^{2} = {(x - 2)}^{6}$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде ${(x - 2)}^{6} = 8^{2}$ .

${(x - 2)}^{6} = 8^{2}$

Возьмем корень 6-й степени от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{8^{2}}$

Упростим $\pm \sqrt[6]{8^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{64}$

Перепишем $64$ в виде $2^{6}$ .

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x - 2 = \pm 2$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 2 = 2$

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2 + 2$

Добавим $2$ и $2$ .

$x = 4$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 2 = - 2$

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = - 2 + 2$

Добавим $- 2$ и $2$ .

$x = 0$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, 0$

Step 5

Исключим решения, которые не делают $2 \log_{8} (x - 2) + \log_{8} (16) = 2$ истинным.

$x = 4$