Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{6} (x - 5) + \log_{6} (4) = 2$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \log_{6} (x - 5) + \log_{6} (4) = 2$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \log_{6} (x - 5) + \log_{6} (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $2 \log_{6} (x - 5)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{6} ({(x - 5)}^{2}) + \log_{6} (4) = 2$

Этап 2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ({(x - 5)}^{2} \cdot 4) = 2$

Этап 2.1.3

Перенесем $4$ влево от ${(x - 5)}^{2}$ .

$\log_{6} (4 {(x - 5)}^{2}) = 2$

Этап 3

Перепишем $\log_{6} (4 {(x - 5)}^{2}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$6^{2} = 4 {(x - 5)}^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $4 {(x - 5)}^{2} = 6^{2}$ .

$4 {(x - 5)}^{2} = 6^{2}$

Этап 4.2

Разделим каждый член $4 {(x - 5)}^{2} = 6^{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $4 {(x - 5)}^{2} = 6^{2}$ на $4$ .

$\frac{4 {(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{6^{2}}{4}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 {(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{6^{2}}{4}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим ${(x - 5)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{6^{2}}{4}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{36}{4}$

Этап 4.2.3.2

Разделим $36$ на $4$ .

${(x - 5)}^{2} = 9$

Этап 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 5 = \pm \sqrt{9}$

Этап 4.4

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x - 5 = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 4.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x - 5 = \pm 3$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 5 = 3$

Этап 4.5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 3 + 5$

Этап 4.5.2.2

Добавим $3$ и $5$ .

$x = 8$

Этап 4.5.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 5 = - 3$

Этап 4.5.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = - 3 + 5$

Этап 4.5.4.2

Добавим $- 3$ и $5$ .

$x = 2$

Этап 4.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 8, 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $2 \log_{6} (x - 5) + \log_{6} (4) = 2$ истинным.

$x = 8$