Основы мат. анализа Примеры

$2 \tan^{2} (x) + 9 \tan (x) + 7 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ для всех.

$2 u^{2} + 9 u + 7 = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ , а сумма — $b = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 u$ .

$2 u^{2} + 9 (u) + 7 = 0$

Этап 1.2.1.2

Запишем $9$ как $2$ плюс $7$

$2 u^{2} + (2 + 7) u + 7 = 0$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 2 u + 7 u + 7 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} + 2 u) + 7 u + 7 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 u (u + 1) + 7 (u + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u + 1$ .

$(u + 1) (2 u + 7) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + 1) (2 \tan (x) + 7) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

$2 \tan (x) + 7 = 0$

Этап 3

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $\tan (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 3.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 3.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 3.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 3.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 3.2.7.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 3.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 3.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 3.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 3.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 3.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 3.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $2 \tan (x) + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 \tan (x) + 7$ к $0$ .

$2 \tan (x) + 7 = 0$

Этап 4.2

Решим $2 \tan (x) + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$2 \tan (x) = - 7$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 \tan (x) = - 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 \tan (x) = - 7$ на $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 7}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 7}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 7}{2}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (x) = - \frac{7}{2}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{7}{2})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{7}{2})$ .

$x = - 1.29249666$

Этап 4.2.5

$x = - 1.29249666 - (3.14159265)$

Этап 4.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Добавим $2 π$ к $- 1.29249666 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.29249666 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 4.2.6.2

Результирующий угол $1.84909598$ является положительным и отличается от $- 1.29249666 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 1.84909598$

Этап 4.2.7

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.8

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Добавим $π$ к $- 1.29249666$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.29249666 + π$

Этап 4.2.8.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 1.29249666$

Этап 4.2.8.3

Вычтем $1.29249666$ из $3.14159265$ .

$1.84909598$

Этап 4.2.8.4

Перечислим новые углы.

$x = 1.84909598$

Этап 4.2.9

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.84909598 + π n, 1.84909598 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\tan (x) + 1) (2 \tan (x) + 7) = 0$ верно.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.84909598 + π n, 1.84909598 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим $1.84909598 + π n$ и $1.84909598 + π n$ в $1.84909598 + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.84909598 + π n$ , для любого целого $n$