Основы мат. анализа Примеры

$2 \sin^{3} (x) + 9 \sin^{2} (x) = 5 \sin (x)$

Step 1

Вычтем $5 \sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin^{3} (x) + 9 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x) = 0$

Step 2

Разложим $2 \sin^{3} (x) + 9 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin^{3} (x) + 9 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin^{3} (x)$ .

$\sin (x) (2 \sin^{2} (x)) + 9 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x) = 0$

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $9 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (9 \sin (x)) - 5 \sin (x) = 0$

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 5 \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (9 \sin (x)) + \sin (x) \cdot - 5 = 0$

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (9 \sin (x))$ .

$\sin (x) (2 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x)) + \sin (x) \cdot - 5 = 0$

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (2 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x)) + \sin (x) \cdot - 5$ .

$\sin (x) (2 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) - 5) = 0$

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ , а сумма — $b = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $9$ из $9 \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) - 5) = 0$

Запишем $9$ как $- 1$ плюс $10$

$\sin (x) (2 \sin^{2} (x) + (- 1 + 10) \sin (x) - 5) = 0$

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) (2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) + 10 \sin (x) - 5) = 0$

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\sin (x) (2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) + 10 \sin (x) - 5) = 0$

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\sin (x) (\sin (x) (2 \sin (x) - 1) + 5 (2 \sin (x) - 1)) = 0$

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 \sin (x) - 1$ .

$\sin (x) ((2 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 5)) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 5) = 0$

Step 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 5 = 0$

Step 4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 5

Приравняем $2 \sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $2 \sin (x) - 1$ к $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Решим $2 \sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin (x) = 1$

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

$x = π - \frac{π}{6}$

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 6

Приравняем $\sin (x) + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $\sin (x) + 5$ к $0$ .

$\sin (x) + 5 = 0$

Решим $\sin (x) + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 5$

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 5$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Step 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (2 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 5) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 8

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$