Основы мат. анализа Примеры

$2 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x) - 3 = 0$

Step 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$2 u^{2} - 5 u - 3 = 0$

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 u$ .

$2 u^{2} - 5 u - 3 = 0$

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$2 u^{2} + (1 - 6) u - 3 = 0$

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 1 u - 6 u - 3 = 0$

Умножим $u$ на $1$ .

$2 u^{2} + u - 6 u - 3 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} + u) - 6 u - 3 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1) = 0$

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 3) = 0$

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 3) = 0$

Step 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 3 = 0$

Step 3

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Решим $2 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - 1$

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 4

Приравняем $\sin (x) - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $\sin (x) - 3$ к $0$ .

$\sin (x) - 3 = 0$

Решим $\sin (x) - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) = 3$

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $3$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Step 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$