Основы мат. анализа Примеры

$15 {(x + 4)}^{4} - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1

Упростим $15 {(x + 4)}^{4} - 23 {(x + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$15 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 4 + 6 x^{2} \cdot 4^{2} + 4 x \cdot 4^{3} + 4^{4}) - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим $4$ на $4$ .

$15 (x^{4} + 16 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 4^{2} + 4 x \cdot 4^{3} + 4^{4}) - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$15 (x^{4} + 16 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 16 + 4 x \cdot 4^{3} + 4^{4}) - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.2.3

Умножим $16$ на $6$ .

$15 (x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4 x \cdot 4^{3} + 4^{4}) - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.2.4

Умножим $4$ на $4^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Перенесем $4^{3}$ .

$15 (x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4^{3} \cdot 4 x + 4^{4}) - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $4^{3}$ на $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$15 (x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4^{3} \cdot 4^{1} x + 4^{4}) - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 (x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4^{3 + 1} x + 4^{4}) - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.2.4.3

Добавим $3$ и $1$ .

$15 (x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4^{4} x + 4^{4}) - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.2.5

Возведем $4$ в степень $4$ .

$15 (x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x + 4^{4}) - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.2.6

Возведем $4$ в степень $4$ .

$15 (x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x + 256) - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x^{4} + 15 (16 x^{3}) + 15 (96 x^{2}) + 15 (256 x) + 15 \cdot 256 - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Умножим $16$ на $15$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 15 (96 x^{2}) + 15 (256 x) + 15 \cdot 256 - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.4.2

Умножим $96$ на $15$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 15 (256 x) + 15 \cdot 256 - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.4.3

Умножим $256$ на $15$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 15 \cdot 256 - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.4.4

Умножим $15$ на $256$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 {(x + 4)}^{2} = - 4$

Этап 1.1.5

Перепишем ${(x + 4)}^{2}$ в виде $(x + 4) (x + 4)$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 ((x + 4) (x + 4)) = - 4$

Этап 1.1.6

Развернем $(x + 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) = - 4$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) = - 4$

Этап 1.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) = - 4$

Этап 1.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) = - 4$

Этап 1.1.7.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) = - 4$

Этап 1.1.7.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) = - 4$

Этап 1.1.7.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 (x^{2} + 8 x + 16) = - 4$

Этап 1.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 x^{2} - 23 (8 x) - 23 \cdot 16 = - 4$

Этап 1.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Умножим $8$ на $- 23$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 x^{2} - 184 x - 23 \cdot 16 = - 4$

Этап 1.1.9.2

Умножим $- 23$ на $16$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1440 x^{2} + 3840 x + 3840 - 23 x^{2} - 184 x - 368 = - 4$

Этап 1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $23 x^{2}$ из $1440 x^{2}$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1417 x^{2} + 3840 x + 3840 - 184 x - 368 = - 4$

Этап 1.2.2

Вычтем $184 x$ из $3840 x$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1417 x^{2} + 3656 x + 3840 - 368 = - 4$

Этап 1.2.3

Вычтем $368$ из $3840$ .

$15 x^{4} + 240 x^{3} + 1417 x^{2} + 3656 x + 3472 = - 4$

Этап 2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = - 4 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - 4 - \frac{\sqrt{5}}{5}, - 4 + \frac{\sqrt{5}}{5}, - 4 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 4 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - 4 - \frac{\sqrt{5}}{5}, - 4 + \frac{\sqrt{5}}{5}, - 4 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$x = - 5.15470053 \dots, - 4.44721359 \dots, - 3.55278640 \dots, - 2.84529946 \dots$

Этап 4